Задача 66802

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $A_1$ симметрична ортоцентру треугольника $PBC$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Решение 1

Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$. Если $P$ движется с постоянной скоростью по окружности $ABC$, то $A_1$, $B_1$ и $C_1$ движутся с той же скоростью по окружностям $BHC$, $CHA$ и $AHB$ соответственно. Поэтому, если для какого-то положения точки $P$ точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ будут лежать на одной прямой, это будет выполняться и для остальных положений. Для случая, когда $AP$ – диаметр, условие, очевидно, выполнено.

Решение 2

Пусть точка $P'$ диаметрально противоположна $P$. Тогда точка $A_1$, симметричная $P'$ относительно прямой $BC$, лежит на прямой Штейнера точки $P'$. Аналогично $B_1$, $C_1$ лежат на этой же прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2