ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64879
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из некоторой точки D в плоскости треугольника ABC провели прямые, перпендикулярные к отрезкам DA, DB, DC, которые пересекают прямые BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что середины отрезков AA1, BB1, CC1 лежат на одной прямой.


Решение

Окружности с диаметрами AA1, BB1, CC1 проходят через основания соответствующих высот треугольника, поэтому степени ортоцентра H относительно всех трёх окружностей равны (согласно задаче 55463 они вдвое меньше степени ортоцентра относительно описанной окружности треугольника ABC). Следовательно, прямая DH является их общей радикальной осью и центры окружностей лежат на одной прямой.

Замечания

Применяя теорему Менелая к треугольнику ABC и треугольнику, образованному его средними линиями, нетрудно показать, что точки A1, B1, C1 также лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2014
тур
задача
Номер 16

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .