Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64876

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На окружности ω c центром O фиксированы точки A и C. Точка B движется по дуге AC. Точка P – фиксированная точка хорды AC. Прямая, проходящая через P параллельно AO, пересекает прямую BA в точке A₁; прямая, проходящая через P параллельно CO, пересекает прямую BC в точке C₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁BC₁ движется по прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64971

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. A₀ – середина стороны BC. Прямые A₀B₁ и A₀C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно прямой BC, в точках P и Q. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника PA₀Q лежит на высоте треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65228

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На стороне BE правильного треугольника ABE вне его построен ромб BCDE. Отрезки AC и BD пересекаются в точке F. Докажите, что  AF < BD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66222

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В треугольнике ABC провели чевианы AA', BB' и CC', которые пересекаются в точке P. Описанная окружность треугольника PA'B' пересекает прямые AC и BC в точках M и N соответственно, а описанные окружности треугольников PC'B' и PA'C' повторно пересекают AC и BC соответственно в точках K и L. Проведём через середины отрезков MN и KL прямую c. Прямые a и b определяются аналогично. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66254

Темы:   [ Трапеции (прочее) ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Даны трапеция ABCD и перпендикулярная её основаниям AD и BC прямая l. По l движется точка X. Перпендикуляры, опущенные из A на BX и из D на CX пересекаются в точке Y. Найдите ГМТ  Y.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями