ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выпуски:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 57]      



Задача 55723  (#М81)

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ]
[ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Внутри квадрата A1A2A3A4 взята точка P. Из вершины A1 опущен перпендикуляр на A2P, из A2 — перпендикуляр на A3P, из A3 — на A4P, из A4 — на A1P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекается в одной точке.

Прислать комментарий     Решение


Задача 73617  (#М82)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Охитин С.

На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73618  (#М83)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что числа 1, 2, ..., n ни при каком  n > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53134  (#М84)

 [Задача о бабочке]
Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Пусть A – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую l. На этой прямой взяты еще две точки B и C так, что
AB = AC.  Через точки B и C проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P и Q, вторая – в точках M и N. Пусть прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что  AR = AS.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73620  (#М85)

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Для любых натуральных чисел a1, a2, ..., am, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b1, b2, ..., bm сумма     не равна нулю. Докажите это.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 57]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .