Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 57]

Задача 78236 (#М76)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Теория графов (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55247 (#М77)

Темы:	[	Неравенства с биссектрисами	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Васильев Н.Б.

Две стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.

Прислать комментарий Решение

Задача 73613 (#М78)

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде где x и y – целые неотрицательные числа. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57159 (#М79)

Темы:	[	Метод ГМТ	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Точки P и Q движутся с одинаковой постоянной скоростью v по двум прямым, пересекающимся в точке O.
Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка A, расстояния от которой до точек P и Q в любой момент времени равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78265 (#М80)

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 57]