В тетраэдре ABCD плоские углы BAD и BCD – тупые. Сравните длины ребер AC и BD.

   Решение

Можно ли сложить какой-нибудь квадрат из трёхклеточных уголков (см. рис.)?

   Решение

Даны четыре окружности  S₁, S₂, S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S₅ = S₁). Докажите, что радикальная ось окружностей S₁ и S₃ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к S₂ и S₄.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 519]      

В треугольнике PQR на стороне PR взята точка S так, что отрезок PS в три раза больше отрезка SR, а сумма углов QPR и QRP равна углу PSQ.
Найдите периметр треугольника PQS, если  PR = 8,  а  cos∠PQR = – ²³/₄₀.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольной трапеции основания равны 17 и 25, а большая боковая сторона равна 10. Через середину M этой стороны проведён к ней перпендикуляр, пересекающий продолжение второй боковой стороны в точке P. Найдите MP.

Прислать комментарий

Решение

Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, причём  AM = AC.
Докажите, что продолжения высот AA₁ и DD₁ треугольников CAM и BDM пересекаются на окружности.

Прислать комментарий

Решение

Хорды AB и CD пересекаются в точке P. Известно, что  AB = CD = 12,  ∠APC = 60°  и  AC = 2BD.  Найдите стороны треугольника BPD.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CH и AH₁. Известно, что  AC = 2,  площадь круга, описанного около треугольника HBH₁, равна ^π/₃. Найдите угол между высотой CH и стороной BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 519]