Каталог по темам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 138]

Задача 61438

Тема:

[

Суммы числовых последовательностей и ряды разностей

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Вычислите сумму

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$ C_n^k(- 1)^k $\displaystyle \left(\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right.$ 1 - $\displaystyle {\dfrac{k}{n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right)^{n}_{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 110026

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Тухвебер С.

Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для любого натурального n , 1 n2000 , выполняется равенство

a13+a23+..+a_n3=(a1+a2+..+a_n)2.
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60427

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Ряды (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Найдите суммы рядов
а) ${\dfrac{1}{1\cdot 2}}$ + ${\dfrac{1}{2\cdot 3}}$ + ${\dfrac{1}{3\cdot 4}}$ + ${\dfrac{1}{4\cdot 5}}$ +...;
б) ${\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot3}}$ + ${\dfrac{1}{2\cdot 3\cdot4}}$ + ${\dfrac{1}{3\cdot 4\cdot5}}$ + ${\dfrac{1}{4\cdot 5\cdot6}}$ +...;
в) ${\dfrac{0!}{r!}}$ + ${\dfrac{1!}{(r-1)!}}$ + ${\dfrac{2!}{(r-2)!}}$ + ${\dfrac{3!}{(r-3)!}}$ +... (r $\geqslant$ 2) .

Прислать комментарий

Решение

Задача 105088

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Итерации	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Шаповалов А.В., Доценко В.В.

Из имеющихся последовательностей {b_n} и {c_n} (возможно, {b_n} совпадает с {c_n}) разрешается получать последовательности {b_n + c_n},
{b_n – c_n}, {b_nc_n} и {^b_n/_{c_n}} (если все члены последовательности {c_n} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {a_n}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
а) a_n = n²;

б)

в)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61146

[Ряд обратных квадратов]

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

а) Докажите, что при нечётном n > 1 справедливо равенство: = – θ (0 < θ < 1).
б) Докажите тождество: = .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 138]