Страница:
<< 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 277]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Докажите равенства
а) [1, 2,..., 2n] = [n + 1, n + 2, ..., 2n];
б) (a1, a2, ..., an) = (a1, (a2, ..., an));
в) [a1, a2, ..., an] = [a1, [a2, ..., an]].
Пусть 
где p1, ..., ps – простые и α1, ..., αs, β1, ..., βs ≥ 0. Докажите равенства:
а) 
б) 
в) (a, b)[a, b] = ab.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
а) ровно в шесть раз;
б) ровно в пять раз?
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Даны четыре натуральных числа. Каждое из данных чисел делится на наибольший общий делитель остальных трёх. Наименьшее общее кратное каждых трёх из данных чисел делится на оставшееся четвёртое. Докажите, что произведение данных чисел – точный квадрат.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
|
а) У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка). Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?
Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?
б) У Саши есть такая же волшебная шоколадка. Он каждую минуту отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов по часовой стрелке и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке.
Страница:
<< 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 277]
Фильтр
