Задача 64838

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Средние величины ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Акулич И.Ф.

Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
  а) ровно в шесть раз;
  б) ровно в пять раз?

Решение

  а) Например, 1, 2, ..., 9, 15. Сумма их равна 60, среднее арифметическое – 6, а НОД равен 1.

  б) Пусть НОД десяти чисел  a₁ < a₂ < ... < a₁₀  равен d. Тогда  a₁ ≥ d,  a₂ ≥ 2d,  ...,  a₁₀ ≥ 10d.  Значит, сумма этих чисел не меньше 55d, а среднее арифметическое не меньше 5,5d.

Ответ

а) Существуют;  б) не существуют.

Замечания

баллы: 2 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	36
Дата	2014/15
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	36
Дата	2014/15
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1