Укажите все такие натуральные n и целые неравные друг другу x и y, при которых верно равенство:   x + x² + x⁴ + ... + x²ⁿ = y + y² + y⁴ + ... + y²ⁿ.

   Решение

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

   Решение

Пусть a, b, c – стороны треугольника, p – его полупериметр, а r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?

Прислать комментарий

Решение

На планете Тау Кита суша занимает больше половины всей площади. Доказать, что таукитяне могут прорыть через центр планеты шахту, соединяющую сушу с сушей.

Прислать комментарий

Решение

Даны две пересекающиеся плоскости, в одной из которых лежит произвольный треугольник площади S.
Существует ли его параллельная проекция на вторую плоскость, имеющая ту же площадь S?

Прислать комментарий

Решение

Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом. После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так, чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD взяты соответственно точки P, Q, R и Sб  O – точка пересечения отрезков PR и QS.
Докажите,что если  AP : AB = DR : DC  и  AS : AD = BQ : BC,  то и  SO : SQ = AP : AB,  PQ : PR = AS : ;AD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]