ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98091
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Укажите все такие натуральные n и целые неравные друг другу x и y, при которых верно равенство:   x + x² + x4 + ... + x2n = y + y² + y4 + ... + y2n.

 

Решение

  При  n = 1  уравнение принимает вид  x + x² = y + y² , или  (x – y)(x + y + 1) = 0,  откуда сразу получаем ответ.
  При  n ≥ 2  уравнение можно переписать следующим образом:  (x – y)(1 + (x + y)(1 + x² + y² + ...)) = 0,  где в последней скобке все слагаемые неотрицательны. Так как  x ≠ y,  обе части можно разделить на  x – y.  Получим:  (x + y)(1 + x² + y² + ...) = –1.  Вторая скобка должна быть по модулю равна 1, откуда  x = y = 0,  что противоречит условию.


Ответ

n = 1,  x = k,  y = – k – 1  для всех целых k.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 12
Дата 1990/1991
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .