Страница: 1
2 3 4 >> [Всего задач: 17]
Докажите, что для любой невыпуклой фигуры
![$ \Psi$](show_document.php?id=603292)
существует выпуклая фигура с
меньшим периметром и большей площадью.
Докажите, что если существует фигура
![$ \Phi{^\prime}$](show_document.php?id=603300)
, площадь которой не меньше площади
фигуры
![$ \Phi$](show_document.php?id=603298)
, а периметр — меньше, то существует фигура того же периметра,
что и
![$ \Phi$](show_document.php?id=603298)
, но большей площади.
Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры
![$ \Phi$](show_document.php?id=603313)
делит её на две
части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура
![$ \Phi{^\prime}$](show_document.php?id=603304)
, имеющая тот же периметр, что и
![$ \Phi$](show_document.php?id=603313)
, но большую площадь.
Докажите, что если выпуклая фигура
![$ \Phi$](show_document.php?id=603334)
отлична от круга, то существует
фигура
![$ \Phi{^\prime}$](show_document.php?id=603333)
, имеющая тот же периметр, что и
![$ \Phi$](show_document.php?id=603334)
, но большую площадь.
а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры,
причем любые три из них имеют общую точку. Докажите,
что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано
n выпуклых фигур, причем любые
три из них имеют общую точку. Докажите, что все
n фигур
имеют общую точку (
теорема Хелли).
Страница: 1
2 3 4 >> [Всего задач: 17]