ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 58141
Условиеа) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку.б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли). Решениеа) Обозначим данные фигуры через M1, M2, M3 и M4. Пусть Ai — точка пересечения всех фигур, кроме Mi. Возможны два варианта расположения точек Ai.1. Одна из точек, например A4, лежит внутри треугольника, образованного остальными точками. Так как точки A1, A2, A3 принадлежат выпуклой фигуре M4, то и все точки треугольника A1A2A3 принадлежат M4. Поэтому точка A4 принадлежит M4, а остальным фигурам она принадлежит по своему определению. 2. A1A2A3A4 — выпуклый четырехугольник. Пусть C — точка пересечения диагоналей A1A3 и A2A4. Докажем, что точка C принадлежит всем данным фигурам. Обе точки A1 и A3 принадлежат фигурам M2 и M4, поэтому отрезок A1A3 принадлежит этим фигурам. Аналогично отрезок A2A4 принадлежит фигурам M1 и M3. Следовательно, точка пересечения отрезков A1A3 и A2A4 принадлежит всем данным фигурам. б) Доказательство проведем индукцией по числу фигур. Для n = 4 утверждение доказано в предыдущей задаче. Докажем, что если утверждение верно для n Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |