Информация о задаче

Задача 58126

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры $\Phi$ делит её на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура $\Phi{^\prime}$ , имеющая тот же периметр, что и $\Phi$ , но большую площадь.

Решение

Пусть хорда AB делит фигуру $\Phi$ на две части $\Phi_{1}^{}$ и $\Phi_{2}^{}$ , периметры которых равны, а площадь $\Phi_{1}^{}$ больше площади $\Phi_{2}^{}$ . Тогда фигура, состоящая из $\Phi_{1}^{}$ и фигуры, симметричной $\Phi_{1}^{}$ относительно AB, имеет тот же периметр, что и $\Phi$ , но большую площадь.
Полученная фигура может оказаться невыпуклой. В этом случае, пользуясь результатами задач 22.BIs9 и 22.BIs10, можно построить выпуклую фигуру того же периметра и ещё большей площади.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	2
Название	Изопериметрическое неравенство
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.BIs11