Каталог по темам

Задачи

Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 841]

Задача 57392

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что при n $\geq$ 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

Прислать комментарий Решение

Задача 57393

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5+
Классы: 9

а) Выпуклые многоугольники A₁...A_n и B₁...B_n таковы, что все их соответственные стороны, кроме A₁A_n и B₁B_n, равны и $\angle$ A₂ $\geq$ $\angle$ B₂,..., $\angle$ A_{n - 1} $\geq$ $\angle$ B_{n - 1}, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что A₁A_n > B₁B_n.
б) Соответственные стороны неравных многоугольников A₁...A_n и B₁...B_n равны. Запишем возле каждой вершины многоугольника A₁...A_n знак разности $\angle$ A_i - $\angle$ B_i. Докажите, что при n $\geq$ 4 соседних вершин с разными знаками будет по крайней мере четыре пары. (Вершины с нулевой разностью выбрасываются из рассмотрения: две вершины, между которыми стоят только вершины с нулевой разностью, считаются соседними.)

Прислать комментарий Решение

Задача 57429

Тема:

[

Неравенства с биссектрисами

]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Докажите, что

l_a²l_b² + l_b²l_c² + l_a²l_c² $\displaystyle \le$ rp²(4R + r).

Прислать комментарий

Решение

Задача 57462

Тема:

[

Неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Из медиан треугольника с углами $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ составлен треугольник с углами $\alpha_{m}^{}$ , $\beta_{m}^{}$ и $\gamma_{m}^{}$ (угол $\alpha_{m}^{}$ лежит против медианы AA₁ и т. д.) Докажите, что если $\alpha$ > $\beta$ > $\gamma$ , то $\alpha$ > $\alpha_{m}^{}$ , $\alpha$ > $\beta_{m}^{}$ , $\gamma_{m}^{}$ > $\beta$ > $\alpha_{m}^{}$ , $\beta_{m}^{}$ > $\gamma$ и $\gamma_{m}^{}$ > $\gamma$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57469

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5+
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что площадь одного из треугольников AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C не превосходит:
а) S_ABC/4;
б) S_A₁B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 841]