Информация о задаче

Задача 57469

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что площадь одного из треугольников AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C не превосходит:
а) S_ABC/4;
б) S_A₁B₁C₁.

Решение

а) Пусть x = BA₁/BC, y = CB₁/CA и z = AC₁/AB. Можно считать, что площадь треугольника ABC равна 1. Тогда S_AB₁C₁ = z(1 - y), S_A₁BC₁ = x(1 - z) и S_A₁B₁C = y(1 - x). Так как x(1 - x) $\leq$ 1/4, y(1 - y) $\leq$ 1/4 и z(1 - z) $\leq$ 1/4, то произведение чисел S_AB₁C₁, S_A₁BC₁ и S_A₁B₁C не превосходит (1/4)³, а значит, одно из них не превосходит 1/4.
б) Пусть для определенности x $\geq$ 1/2. Если y $\leq$ 1/2, то при гомотетии с центром C и коэффициентом 2 точки A₁ и B₁ переходят во внутренние точки сторон BC и AC, а значит, S_A₁B₁C $\leq$ S_A₁B₁C₁. Поэтому можно считать, что y $\geq$ 1/2 и аналогично z $\geq$ 1/2. Пусть x = (1 + $\alpha$ )/2, y = (1 + $\beta$ )/2 и z = (1 + $\gamma$ )/2. Тогда S_AB₁C₁ = (1 + $\gamma$ - $\beta$ - $\beta$ $\gamma$ )/4, S_A₁BC₁ = (1 + $\alpha$ - $\gamma$ - $\alpha$ $\gamma$ )/4 и S_A₁B₁C = (1 + $\beta$ - $\alpha$ - $\alpha$ $\beta$ )/4, а значит, S_A₁B₁C₁ = (1 + $\alpha$ $\beta$ + $\beta$ $\gamma$ + $\alpha$ $\gamma$ )/4 и S_AB₁C₁ + S_A₁BC₁ + S_A₁B₁C $\leq$ 3/4.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	8
Название	Неравенства для площади треугольника
Тема	Неравенства для площади треугольника
задача
Номер	10.058