Информация о задаче

Задача 57393

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Выпуклые многоугольники A₁...A_n и B₁...B_n таковы, что все их соответственные стороны, кроме A₁A_n и B₁B_n, равны и $\angle$ A₂ $\geq$ $\angle$ B₂,..., $\angle$ A_{n - 1} $\geq$ $\angle$ B_{n - 1}, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что A₁A_n > B₁B_n.
б) Соответственные стороны неравных многоугольников A₁...A_n и B₁...B_n равны. Запишем возле каждой вершины многоугольника A₁...A_n знак разности $\angle$ A_i - $\angle$ B_i. Докажите, что при n $\geq$ 4 соседних вершин с разными знаками будет по крайней мере четыре пары. (Вершины с нулевой разностью выбрасываются из рассмотрения: две вершины, между которыми стоят только вершины с нулевой разностью, считаются соседними.)

Решение

а) Предположим сначала, что $\angle$ A_i > $\angle$ B_i, а для всех остальных рассматриваемых пар углов имеет место равенство. Расположим многоугольники так, чтобы вершины A₁,..., A_i совпали с B₁,..., B_i. В треугольниках A₁A_iA_n и A₁A_iB_n стороны A_iA_n и A_iB_n равны и $\angle$ A₁A_iA_n > $\angle$ A₁A_iB_n, поэтому A₁A_n > A₁B_n.
Если же не равны несколько углов, то многоугольники A₁...A_n и B₁...B_n можно включить в цепочку многоугольников, последовательные члены которой такие, как в разобранном выше случае.
б) При полном обходе многоугольника знак минус меняется на знак плюс столько же раз, сколько происходит обратная смена знака. Поэтому число пар соседних вершин с разными знаками четно. Остается проверить, что число изменений знака не может быть равно двум (число изменений знака не равно нулю, так как сумма углов обоих многоугольников одна и та же).

Предположим, что число изменений знака равно двум. Пусть P и Q, P' и Q' — середины сторон многоугольников A₁...A_n и B₁...B_n, на которых происходит смена знака. К парам многоугольников M₁ и M₁', M₂ и M₂' (рис.) можно применить утверждение задачи а); в одном случае получим PQ > P'Q', а в другом PQ < P'Q', чего не может быть.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	10
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (неравенства)
задача
Номер	09.086