Страница:
<< 23 24 25 26
27 28 29 >> [Всего задач: 239]
Две окружности пересекаются в точках A и B. Хорда CD первой окружности имеет с хордой EF второй окружности общую точку M.
Известно, что BM = 2, AB = 3CM = 9EM, MD = 2CM, MF = 6CM. Какие значения может принимать длина отрезка AM?
На сторонах треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что AB1 : B1C = cn : an, BC1 : C1A = an : bn и CA1 : A1B = bn : cn (a, b, c – длины сторон треугольника). Описанная окружность треугольника A1B1C1 высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника). Докажите, что 
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Рассмотрим графики функций y = x² + px + q, которые пересекают оси координат в трёх различных точках.
Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Внутри окружности расположен равносторонний N-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.
На данной прямой
l, проходящей через центр
O данной окружности, фиксирована
точка
C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки
A и
A'
расположены на окружности по одну сторону от
l так, что углы, образованные
прямыми
AC и
A'C с прямой
l, равны. Обозначим через
B точку
пересечения прямых
AA' и
l. Доказать, что положение точки
B не зависит
от точки
A.
Страница:
<< 23 24 25 26
27 28 29 >> [Всего задач: 239]
Фильтр
