Задача 78301

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4- Классы: 11

Условие

На данной прямой l, проходящей через центр O данной окружности, фиксирована точка C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки A и A' расположены на окружности по одну сторону от l так, что углы, образованные прямыми AC и A'C с прямой l, равны. Обозначим через B точку пересечения прямых AA' и l. Доказать, что положение точки B не зависит от точки A.

Решение

Пусть для определённости точка A' ближе к прямой l, чем точка A. Рассмотрим точку A₁, симметричную точке A относительно прямой l. Ясно, что CA'A = A₁A'A = A₁OA. Угол A₁OA равен удвоенному внешнему углу при вершине O четырёхугольника AA'CO. Поэтому четырёхугольник AA'CO вписанный, а значит, BA' ^. BA = BC ^. BO. Пусть D и E – точки пересечения прямой l и исходной окружности. По доказанному BC^.BO = BD^.BE. Ясно, что это условие определяет точку B однозначно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	1