Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 80]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
а) k = 7; б) k = 10.
Докажите, что если n точек не лежат на одной прямой, то среди прямых, их соединяющих, не менее n различных.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Найдите хоть одно вещественное число $A$ со свойством: для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части числа $A^n$ до ближайшего квадрата целого числа равно 2. (Верхняя целая часть числа $x$ – наименьшее целое число, не меньшее $x$.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем
среди любых
k+1
квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить
не более чем на
2
k-1
непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты
n
различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть
любые
n квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них
можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета
можно прибить к столу
2
n-2
гвоздями.
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 80]
Фильтр
Решение
