Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 189]
|
|
|
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
|
Сколько существует натуральных чисел
n, меньших 10000, для которых 2
n –
n² делится на 7?
Решение
Остатки от деления 2
n на 7 повторяются с периодом 3: 2, 4, 1. Остатки от деления
n² на 7 повторяются с периодом 7: 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0. Поэтому делимость на 7 зависит только от остатка при делении
n на 21. Рассмотрим все случаи (в первой строке таблицы – остатки от деления на 21, в следующих двух – остатки от деления на 7).
Мы видим 6 случаев совпадений (когда
n ≡ 2, 4, 5, 6, 10, 15 (mod 21)). 10000 = 476·21 + 4. Поэтому количество "подходящих" чисел равно 476·6 + 2 = 2858.
Ответ
2858 чисел.
|
|
|
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
|
Может ли число 1/3 (n² + 1) быть целым при натуральном n?
Решение
См. задачу 30375.
Ответ
Не может.
Можно ли число 1986 представить в виде суммы шести квадратов нечётных чисел?
Решение
Квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 (см. зад. 34944). Значит, сумма шести квадратов при делении на 8 даст остаток 6.
А 1986 ≡ 2 (mod 8). Поэтому 1986 не может быть суммой шести квадратов.
Ответ
Нельзя.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.
Решение
Заметим, что это число, увеличенное на 1, делится на 2, 3, 4, 5, 6.
Ответ
59 = НОК(2, 3, 4, 5, 6) – 1.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
|
Если от некоторого трёхзначного числа отнять 6, то оно разделится на 7, если
отнять 7, то оно разделится на 8, а если отнять 8, то оно разделится на 9.
Определите это число.
Подсказка
Что будет, если к искомому числу прибавить единицу?
Решение
Если к искомому числу прибавить 1, то оно будет делиться на 7·8·9 = 504. Так как число трёхзначное, то имеется единственная возможность – оно равно
503 = 7·8·9 – 1.
Ответ
503.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 189]
Фильтр
