ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      



Задача 78043

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Трёхчлен  ax² + bx + c  при всех целых x является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда  a = b = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98421

Темы:   [ Замена переменных ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Разрывы функций ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10

Дана функция    ,   где трёхчлены  x² + ax + b  и  x² + cx + d  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
  2)  f(x) представима в виде:  f(x) = f1(f2(...fn–1(fn(x))...)),  где каждая из функций  fi(x) есть функция одного из видов:   kix + bi, x–1, x².

Прислать комментарий     Решение

Задача 66858

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

На плоскости даны две параболы:  $y = x^2$  и  $y = x^2 - 1$.  Пусть $U$ – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в $U$?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109653

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y справедливо неравенство  (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).

Прислать комментарий     Решение

Задача 111763

Темы:   [ Вычисление производной ]
[ Неравенства с модулями ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что  f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)|  при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .