Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите наибольшее и наименьшее значения функций
а) f₁(x) = a cos x + b sin x;
б) f₂(x) = a cos²x + b cos x sin x + c sin²x.

   Решение

---

При каких целых значениях n функция

имеет период 3?

   Решение

---

Две касающиеся окружности с центрами O₁ и O₂ касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO₁O₂.

   Решение

---

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 105]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73667

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Четность и нечетность ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

По окружности выписаны n чисел  x₁, x₂, ..., x_n,  каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого  k = 1, 2, ..., n – 1  сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть  x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁ = 0,  x₁x₃ + x₂x₄ + ... + x_nx₂ = 0,  x₁x₄ + x₂x₅ + ... + x_nx₃ = 0  и так далее; например, для  n = 4  можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
  а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
  б)* Существует ли такой набор чисел для  n = 16?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35259

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Известно, что  x + ¹/_x  – целое число. Докажите, что  xⁿ + ¹/_xⁿ  – также целое при любом целом n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97921

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Тождественные преобразования ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Докажите, что при любом a имеет место неравенство:   3(1 + a² + a⁴) ≥ (1 + a + a²)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32123

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Произведение двух положительных чисел больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86517

Темы:   [ Алгебраическая форма, сопряжение, модуль и т.п. ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9,10

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 105]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями