Версия для печати
Убрать все задачи
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в
вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°.
Найдите радиусы сфер.
Решение
В треугольнике
ABC угол
BAC прямой, длины сторон
AB и
BC
равны соответственно 5 и 6. Точка
K делит сторону
AC в отношении
3:1, считая от точки
A,
AH - высота треугольника
ABC. Что
больше: 2 или отношение длины
BK к длине
AH?
Решение
В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Из точки H провели перпендикуляры к прямым B1C1 и A1C1, которые пересекли лучи CA и CB в точках P и Q соответственно. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую A1B1, проходит через середину отрезка PQ.
Решение
Миша решил уравнение x² + ax + b = 0 и сообщил Диме набор из четырёх чисел – два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие – коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?
Решение
Пусть точки A1, B1 и C1 принадлежат сторонам соответственно BC, AC и AB треугольника ABC.
Докажите, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 
Решение
Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно
BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то ∠ABM = ∠CBB'.
Решение
Пусть число α задаётся десятичной дробью
а) 0,101001000100001000001...;
б) 0,123456789101112131415....
Будет ли это число рациональным?
Решение
Тема:
Все темы
>>
Математический анализ
>>
Действительные числа
>>
Рациональные и иррациональные числа
