ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 93]      



Задача 109493

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Процессы и операции ]
[ Итерации ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

С ненулевым числом разрешается проделывать следующие операции: x , x . Верно ли, что из каждого ненулевого рационального числа можно получить каждое рациональное число с помощью конечного числа таких операций?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109834

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Теория графов (прочее) ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66202

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Итерации ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α1 как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α2, и так далее.
  а) Докажите, что для некоторого n выполнено неравенство  αn < 3/16.
  б) Может ли случиться, что  αn > 7/40  при всех натуральных n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66578

Тема:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66733

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

На числовой оси отмечено бесконечно много точек с натуральными координатами. Когда по оси катится колесо, каждая отмеченная точка, по которой проехало колесо, оставляет на нём точечный след. Докажите, что можно выбрать такое действительное R, что если прокатить по оси, начиная из нуля, колесо радиуса R, то на каждой дуге колеса величиной в $1^\circ$ будет след хотя бы одной отмеченной точки.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 93]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .