Версия для печати
Убрать все задачи

---

(Сообщил Д. В.Варсанофьев) Даны две последовательности целых чисел x[1]...x[n] и  y[1]...y[k]. Выяснить, является ли вторая последовательность подпоследовательностью первой, то есть можно ли из первой вычеркнуть некоторые члены так, чтобы осталась вторая. Число действий порядка n + k.

   Решение

---

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

   Решение

---

Докажите, что многочлен  a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²)  делится на  (b – c)(c – a)(a – b).

   Решение

---

Докажите равенства:
  а)  φ(m) φ(n) = φ((m, n)) φ([m, n]);
  б)  φ(mn) φ((m, n)) = φ(m) φ(n) (m, n).
Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 79]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109896

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116708

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Четность и нечетность ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Существует ли натуральное число, у которого нечётное количество чётных натуральных делителей и чётное количество нечётных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60547  [Теорема Эйлера]

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид  n = 2^k–1(2^k – 1),  и  p = 2^k – 1  – простое число Мерсенна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60550  [Задача Ферма]

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найдите наименьшее число вида  n = 2^αpq,  где p и q – некоторые нечётные простые числа, для которого  σ(n) = 3n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60777

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите равенства:
  а)  φ(m) φ(n) = φ((m, n)) φ([m, n]);
  б)  φ(mn) φ((m, n)) = φ(m) φ(n) (m, n).
Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 79]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями