Задача 116708

Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ] [ Четность и нечетность ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Жуков Г.

Существует ли натуральное число, у которого нечётное количество чётных натуральных делителей и чётное количество нечётных?

Решение

Пусть наибольшая степень двойки, на которую делится наше число – это 2^k. Тогда каждый делитель числа можно однозначно представить в виде 2^mn, где  m ≤ k,  а n – нечётный делитель числа. И наоборот, если n – нечётный делитель, то 2n, 2²n, ..., 2^kn – тоже делители, причём все они чётны. Таким образом, из каждого нечётного делителя получаются k различных чётных. Значит, всего чётных делителей в k раз больше, чем нечётных. Поэтому, если количество нечётных делителей чётно, то и количество чётных – тоже чётно.

Ответ

Не существует.

Замечания

4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2011/2012
Номер	33
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2