Задача 60987
|
|
 |
Условие
Докажите, что многочлен a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²) делится на (b – c)(c – a)(a – b).
Решение 1
a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²) = a³(b² – c²) + (b³c² – b²c³) + (a²c³ – a²b³) = a³(b + c)(b – c) + b²c²(b – c) – a²(b – c)(b² + bc + c²) =
= (b – c)(a³b + a³c + b²c² – a²b² – a²c² – a²bc) = (b – c)(b²(c² – a²) + a²b(a – c) + a²c(a – c)) = (b – c)(c – a)(b²(c + a) – a²b – a²c) =
= (b – c)(c – a)((b² – a²)c + ab(b – a)) = (b – c)(c – a)(b – a)(bc + ac + ab).
Решение 2
При a = b многочлен обращается в ноль, значит, по теореме Безу (см. задачу 60961) он делится на a – b. Аналогично он делится на a – c и b – c, а значит, и на их произведение.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многочлены |
| Тема | Многочлены |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу. |
| Тема | Теорема Безу. Разложение на множители |
| задача | |
| Номер | 06.064 |
