Числа x, y, z удовлетворяют равенству  x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½.  Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

   Решение

Можно ли из 13 кирпичей 1×1×2 сложить куб 3×3×3 с дыркой 1×1×1 в центре?

   Решение

Петя умеет на любом отрезке отмечать точки, которые делят этот отрезок пополам или в отношении  n : (n + 1),  где n – любое натуральное число. Петя утверждает, что этого достаточно, чтобы на любом отрезке отметить точку, которая делит его в любом заданном рациональном отношении. Прав ли он?

   Решение

Доска 100×100 разбита на 10000 единичных квадратиков. Один из них вырезали, так что образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой длины 2 так, чтобы их гипотенузы шли по сторонам квадратиков, а катеты – по диагоналям и чтобы треугольники не налегали друг на друга и не свисали с доски?

   Решение

Проверьте, что многочлены Чебышёва T_n(x) и U_n(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T₀(x) = 1,   T₁(x) = x;   U₀(x) = 1,   U₁(x) = 2x,   и рекуррентным формулам   T_n+1(x) = 2xT_n(x) – T_n–1(x),   U_n+1(x) = 2xU_n(x) – U_n–1(x).

   Решение

Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y) . Найдите f(2007) , если f() = 1 .

   Решение

Вычислите произведение  

   Решение

Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, причём  AM = AC.
Докажите, что продолжения высот AA₁ и DD₁ треугольников CAM и BDM пересекаются на окружности.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 519]      

В треугольнике PQR на стороне PR взята точка S так, что отрезок PS в три раза больше отрезка SR, а сумма углов QPR и QRP равна углу PSQ.
Найдите периметр треугольника PQS, если  PR = 8,  а  cos∠PQR = – ²³/₄₀.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольной трапеции основания равны 17 и 25, а большая боковая сторона равна 10. Через середину M этой стороны проведён к ней перпендикуляр, пересекающий продолжение второй боковой стороны в точке P. Найдите MP.

Прислать комментарий

Решение

Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, причём  AM = AC.
Докажите, что продолжения высот AA₁ и DD₁ треугольников CAM и BDM пересекаются на окружности.

Прислать комментарий

Решение

Хорды AB и CD пересекаются в точке P. Известно, что  AB = CD = 12,  ∠APC = 60°  и  AC = 2BD.  Найдите стороны треугольника BPD.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CH и AH₁. Известно, что  AC = 2,  площадь круга, описанного около треугольника HBH₁, равна ^π/₃. Найдите угол между высотой CH и стороной BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 519]