Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Пусть K, L, M, N – середины соответственно сторон AB, BC, CD, AD.
Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и PNK равны.

   Решение

Постройте четырехугольник ABCD, у которого диагональ AC является биссектрисой угла A, зная длины его сторон.

   Решение

Постройте четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при вершинах B и D.

   Решение

Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC к основанию одинаков и равен arctg . Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник ABC ( ACB = 90^o ); SO – высота пирамиды. Найдите боковую поверхность пирамиды, если OB = , а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 1.

   Решение

а) Докажите, что если длины проекций отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые равны a и b, то его длина не меньше  (a + b)/.
б) Длины проекций многоугольника на координатные оси равны a и b. Докажите, что его периметр не меньше  (a + b).

   Решение

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекают касательную, проведённую в точке B, соответственно в точках M и N. В треугольнике ABC проведена высота BP. Докажите, что BP – биссектриса угла MPN.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 519]      

Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Биссектриса угла $ABD$ пересекает диагональ $AC$ в точке $E$, а биссектриса угла $ACD$ – диагональ $BD$ в точке $F$. Докажите, что прямые $AF$ и $DE$ пересекаются на медиане треугольника $APD$.

Прислать комментарий

Решение

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекают касательную, проведённую в точке B, соответственно в точках M и N. В треугольнике ABC проведена высота BP. Докажите, что BP – биссектриса угла MPN.

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD основание  AB = a,  основание  CD = b  (a < b).  Окружность, проходящая через вершины A, B и C, касается стороны AD.
Найдите диагональ AC.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC сторона AB меньше стороны AC, D — точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к AB, и прямой DC, перпендикулярной к AC. Прямая, проходящая через точку B перпендикулярно к AD, пересекает AC в точке M. Известно, что  AM = m,  MC = n.  Найдите AB.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D, причём  AD = 3,  cos∠BDC = ¹³/₂₀,  а  ∠B + ∠ADB = 180°.
Найдите периметр треугольника ABC, если  BC = 2.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 519]