Задача 53248

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC сторона AB меньше стороны AC, D — точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к AB, и прямой DC, перпендикулярной к AC. Прямая, проходящая через точку B перпендикулярно к AD, пересекает AC в точке M. Известно, что  AM = m,  MC = n.  Найдите AB.

Подсказка

Треугольники ABM и ACB подобны.

Решение

  Точки B и C лежат на окружности с диаметром AD. Поэтому  ∠ABM = 90° – ∠MBD = ∠BDA = ∠C.
  Следовательно, треугольники ABM и ACB подобны по двум углам. Поэтому  AM : AB = AB : AC.  Отсюда  AB² = AM·AC = m(m + n).

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	943