Задача 52515

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекают касательную, проведённую в точке B, соответственно в точках M и N. В треугольнике ABC проведена высота BP. Докажите, что BP – биссектриса угла MPN.

Решение

  Пусть  AB = c,  BC = a,  ∠A = α,  ∠C = γ.
  Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠BAM = ∠ABM = ∠C = γ,  ∠BCN = ∠CBN = ∠A = α.  Значит,  ∠MAP = α + γ = ∠NCP.
  Кроме того,  AP = c cos α,  CP = a cos γ,  NC = ^a/_2cosα,  MA = ^c/_2cosγ.  Поэтому  ^AP/_CP = ^MA/_NC = ^ccosα/_acosγ.
  Значит, треугольники AMP и CNP подобны. Следовательно,  ∠APM = ∠CPN,  ∠MPB = ∠NPB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	178