Версия для печати
Убрать все задачи
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB1 – его симедиана, луч BB1 вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC, а луч BHB вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки HA, HC, T, L лежат на одной окружности.
Решение
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $B$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ на $AC$, что $AP=PB$, $BQ=QC$. Окружность $BPQ$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно.
а) (П.Рябов)
Докажите, что точка $R$ пересечения $PM$ и $NQ$ равноудалена от $A$ и $C$.
б) (А.Заславский)
Пусть $BR$ пересекает $AC$ в точке $S$. Докажите, что $MN\perp OS$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Решение
Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырёхугольника образуют вписанный четырёхугольник.
Решение
Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 32 так, что
каждое число
использовалось дважды. Докажите, что можно выбрать 32 клетки,
занумерованные разными числами, так что на каждой вертикали и на
каждой горизонтали найдется хотя бы по две выбранные клетки.
Решение
Фильтр
