ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58277
Тема:    [ Замощения костями домино и плитками ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из шахматной доски со стороной а) 2n; б) 6n + 1 выброшена одна клетка. Докажите, что оставшуюся часть доски можно замостить плитками, изображенными на рис.



Решение

а) Докажем это утверждение по индукции. Для квадрата со стороной 2 оно очевидно. Предположим теперь, что можно замостить любой квадрат со стороной 2n без одной клетки, и покажем, как тогда замостить квадрат со стороной 2n + 1 без одной клетки. Разобьем этот квадрат на 4 квадрата со стороной 2n. Выброшенная клетка попадает в один из них, а по одной клетке в трех остальных квадратах можно покрыть одной фигуркой (рис.). Теперь в каждом из этих четырех квадратов со стороной 2n выброшено по одной клетке, поэтому их можно замостить данными фигурками.


б) Докажем сначала требуемое утверждение для n = 1, т. е. для квадрата со стороной 7. Можно считать, что выброшенная клетка лежит в одном из заштрихованных на рис. квадратиков; требуемые замощения изображены на этом же рисунке.
Покажем теперь, как с помощью замощения квадрата со стороной 6n + 1 построить замощение квадрата со стороной 6n + 7. Четыре квадрата со стороной 6n + 1, Прилегающие к вершинам квадрата со стороной 6n + 7, полностью покрывают этот квадрат. Поэтому выброшенная клетка лежит в одном из этих квадратов; замостим его. Оставшуюся часть можно разрезать на квадраты со стороной 6 и прямоугольники размером 6×7. Эти квадраты и прямоугольники можно разрезать на прямоугольники размером 2×3, каждый из которых состоит из двух плиток.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 25
Название Разрезания, разбиения, покрытия
Тема Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер 9
Название Замощения костями домино и плитками
Тема Замощения костями домино и плитками
задача
Номер 25.055

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .