Страница:
<< 14 15 16 17
18 19 20 >> [Всего задач: 119]
На шахматную доску произвольным образом уложили 32 доминошки
(прямоугольника 1×2), так что доминошки не перекрываются. Затем к доске добавили
одну клетку, как показано на рисунке. Разрешается вынимать любую доминошку, а
затем класть её на две соседние пустые клетки.
Докажите, что можно расположить все доминошки
горизонтально.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В прямоугольную коробку с основанием m×n, где m и n – нечётные числа, уложены домино размера 2×1 так, что остался не покрыт только квадрат 1×1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, её разрешается сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом открывается новая дырка). Докажите, что с помощью
таких передвижений можно перегнать дырку в любой другой угол.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плитками, из которых k имеют форму уголка, а остальные 12 – k – прямоугольника. При каких k это возможно?
а) Можно ли квадрат
6×6 замостить костями домино
1×2 так, чтобы не было к швак, т. е. прямой, не
разрезающей костей?
б) Докажите, что любой прямоугольник
m×
n, где
m и
n
больше 6 и
mn четно, можно замостить костями домино так, чтобы
не было к швак.
в) Докажите, что прямоугольник
6×8 можно замостить
костями домино так, чтобы не было к швак.
Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника
M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет,
если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так,
чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если
M — выпуклый
n-угольник, где
n
7, то паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно
непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.
Страница:
<< 14 15 16 17
18 19 20 >> [Всего задач: 119]
Фильтр
