Версия для печати
Убрать все задачи

---

Бумажная прямоугольная полоска помещается внутри данного круга. Полоску согнули (не обязательно пополам). Докажите, что после сгибания полоску можно также разместить в этом круге.

   Решение

---

Докажите, что два соседних числа Фибоначчи F_n–1 и F_n  (n ≥ 1)  взаимно просты.

   Решение

---

Докажите неравенство   sinⁿ2x + (sinⁿx – cosⁿx)² ≤ 1.

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 107]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61501

Темы:   [ Формальные степенные ряды ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Функции a, b и c заданы рядами

   

   

   

Докажите, что   a³ + b³ + c³ – 3abc = (1 + x³)ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66032

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2^d?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78164

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Решить в натуральных числах уравнение   x^2y + (x + 1)^2y = (x + 2)^2y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109711

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите неравенство   sinⁿ2x + (sinⁿx – cosⁿx)² ≤ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105070

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Решите в натуральных числах уравнение  (1 + n^k)^l = 1 + n^m,  где  l > 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 107]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями