Задача 109711

Темы:    [ Тригонометрические неравенства ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Храбров А.

Докажите неравенство   sinⁿ2x + (sinⁿx – cosⁿx)² ≤ 1.

Решение

Левую часть можно записать в виде  sin²ⁿx + (2ⁿ – 2) sinⁿx cosⁿx + cos²ⁿx.   Но
  1 = (sin²x + cos²x)ⁿ = sin²ⁿx + cos²ⁿx + n(sin²x cos^2n–2x + cos²x sin^2n–2x) + (sin⁴x cos^2n–4x + cos⁴x sin^2n–4x) + ... ≥ sin²ⁿx + cos²ⁿx + (2ⁿ – 2) sinⁿx cosⁿx,
поскольку каждая скобка не меньше чем  2 sinⁿx cosⁿx,  а сумма коэффициентов равна  ½ (2ⁿ – 2).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	00.5.11.5