Докажите, что числа    а)  2³²⁰⁰¹ + 1;     б)  2³²⁰⁰¹ – 1   – составные.

   Решение

Деревянный куб покрасили снаружи белой краской, каждое его ребро разделили на 5 равных частей, после чего куб распилили так, что получились маленькие кубики, у которых ребро в 5 раз меньше, чем у исходного куба. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых окрашена хотя бы одна грань?

   Решение

Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит три дороги, быть ровно 100 дорог?

   Решение

Существует ли выпуклый 1978-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов?

   Решение

Докажите, что  ABC < BAC тогда и только тогда, когда AC < BC, т. е. против большего угла треугольника лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.

   Решение

См. задачу 4 для 8 класса. Кроме того, доказать, что если длины отрезков a₁,..., a₆ удовлетворяют соотношениям: a₁ - a₄ = a₅ - a₂ = a₃ - a₆, то из этих отрезков можно построить равноугольный шестиугольник.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 110]      

Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности и точка J на хорде CD. Постройте на окружности точку X так, чтобы хорды AX и BX высекали на хорде CD отрезок EF, делящийся точкой J пополам.

Прислать комментарий

Решение

Через общую точку A окружностей S₁ и S₂ проведите прямую l так, чтобы разность длин хорд, высекаемых на l окружностями S₁ и S₂ имела заданную величину a.

Прислать комментарий

Решение

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что
  1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и
  2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля).
Докажите, что
  а) любая фигура F бьёт данное поле Х не более, чем с 20 полей;
  б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

Прислать комментарий

Решение

Дан равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ). Выбрана точка X на стороне AC . Окружность проходит через точку X , касается стороны AC и пересекает описанную окружность треугольника ABC в таких точках M и N , что прямая MN делит отрезок BX пополам и пересекает стороны AB и BC в точках P и Q . Докажите, что описанная окружность треугольника BPQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника ABC; описанные окружности треугольников ABC и A₁B₁C, вторично пересекаются в точке P, Z – точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника ABC, проведённых в точках A и B. Докажите, что прямые AP, BC и ZC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 110]