Дана последовательность чисел x₁, x₂, ... . Известно, что 0<x₁<1 и x_k+1=x_k-x_k² для всех k>1. Докажите, что x₁²+x₂²+...+x_n²<1 для любого n>1.

   Решение

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Построения (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через общую точку A окружностей S₁ и S₂ проведите прямую l так, чтобы разность длин хорд, высекаемых на l окружностями S₁ и S₂ имела заданную величину a.

Решение

Предположим, что прямая l построена. Рассмотрим окружность S₁', симметричную окружности S₁ относительно точки A. Пусть O₁, O₁' и O₂ — центры окружностей S₁, S₁' и S₂ (рис.). Проведем через точки O₁' и O₂ прямые l₁' и l₂, перпендикулярные прямой l. Расстояние между прямыми l₁' и l₂ равно половине разности длин хорд, высекаемых прямой l на окружностях S₁ и S₂. Поэтому для построения прямой l нужно построить окружность радиуса a/2 с центром O₁'; прямая l₂ будет касательной к этой окружности. Построив прямую l₂, опускаем на нее перпендикуляр из точки A и получаем прямую l.

Источники и прецеденты использования