При каких натуральных $n$ найдутся $n$ последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) $n$ последовательных натуральных чисел?

   Решение

Дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой  ∠C = ∠B = 90°.  На стороне AD как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону BC в точках M и N. Докажите, что  BM·MC = AB·CD.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 119]      

Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений  (x – a)(x – b) = x – c,  (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b  имеют решение.

Прислать комментарий

Решение

Для квадратного трёхчлена  f(x) и некоторых действительных чисел l, t и v выполнены равенства:  f(l) = t + v,  f(t) = l + v,  f(v) = l + t.
Докажите, что среди чисел l, t и v есть равные.

Прислать комментарий

Решение

Квадратный трёхчлен  f(x) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство  f(a² + b²) ≥ f(2ab).
Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.

Прислать комментарий

Решение

Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  x² + ax + b  и  x² + bx + a  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

Прислать комментарий

Решение

Даны три квадратных трёхчлена:  x² + b₁x + c₁,  x² + b₂x + c₂  и  x² + ½ (b₁ + b₂)x + ½ (c₁ + c₂).  Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 119]