Условие
При каких натуральных $n$ найдутся $n$ последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) $n$ последовательных натуральных чисел?
Решение
Произведение $n$ последовательных целых чисел делится на $n$, значит, и равная ей сумма целых чисел делится на $n$. Поэтому среднее арифметическое этих чисел – целое число. Значит, $n$ нечётно. Вот пример для $n = 2m + 1$:
$((2m)! - m) + ((2m)! - m + 1) + \ldots + ((2m)! + m) = (2m + 1)\cdot(2m)! = n!$.
Ответ
При нечётных $n$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
42 |
|
Дата |
2020/21 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
3 |
