ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66896
Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких натуральных $n$ найдутся $n$ последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) $n$ последовательных натуральных чисел?

Решение

Произведение $n$ последовательных целых чисел делится на $n$, значит, и равная ей сумма целых чисел делится на $n$. Поэтому среднее арифметическое этих чисел – целое число. Значит, $n$ нечётно. Вот пример для $n = 2m + 1$: $((2m)! - m) + ((2m)! - m + 1) + \ldots + ((2m)! + m) = (2m + 1)\cdot(2m)! = n!$.

Ответ

При нечётных $n$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 42
Дата 2020/21
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .