Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 40]

Задача 61539

Темы:	[	Задачи-шутки	]
Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

``1 = - 1''. Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$ $\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1.

После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:

-1 = i² = $\displaystyle \sqrt{-1}$ ^. $\displaystyle \sqrt{-1}$ = $\displaystyle \sqrt{(-1)(-1)}$ = $\displaystyle \sqrt{1}$ = 1.

Не ошибся ли где-нибудь Коля Васин?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61543

Темы:	[	Задачи-шутки	]
Темы:	[	Ряды (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10,11

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...

(12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;

S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66490

Темы:	[	Задачи-шутки	]
Темы:	[	Кубические многочлены	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бородин П.А.

Решите уравнение $$ x^3+(\log_25+\log_32+\log_53) x=(\log_23+\log_35+\log_52) x^2+1. $$

Прислать комментарий Решение

Задача 66542

Темы:	[	Задачи-шутки	]
Темы:	[	Задачи на движение	]

Сложность: 3
Классы: 6,7

Автор: Ященко И.В.

Братья Петя и Вася решили снять смешной ролик и выложить его в интернет. Сначала они сняли, как каждый из них идёт из дома в школу — Вася шёл 8 минут, а Петя шёл 5 минут. Потом пришли домой и сели за компьютер монтировать видео: они запустили одновременно Васино видео с начала и Петино видео с конца (в обратном направлении); в момент, когда на обоих роликах братья оказались в одной и той же точке пути, они склеили Петино видео с Васиным. Получился ролик, на котором Вася идёт из дома в школу, а потом в какой-то момент вдруг превращается в Петю и идёт домой задом наперёд. А какой длительности получился ролик?

Прислать комментарий Решение

Задача 66550

Тема:

[

Задачи-шутки

]

Сложность: 3
Классы: 6,7,8

Авторы: Мухин Д.Г., Федулкин Л.Е., Эльман И.А.

Том написал на заборе из досок слово ММО, а Гек — число 2020. Ширина каждой буквы и цифры 9 см, а ширина доски забора — 5 см. Мог ли Гек испачкать меньше досок, чем Том? (Доски расположены вертикально, а слова и числа пишутся горизонтально. Цифры и буквы пишутся через равные промежутки.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 40]