Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]

Задача 67163

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два числа с одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдётся ещё одно число с такой же суммой цифр?

Прислать комментарий Решение

Задача 67165

Темы:	[	Разрезания (прочее)	]
	[	Площадь (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Аржанцев А.

У N друзей есть круглая пицца. Разрешается провести не более 100 прямолинейных разрезов, не перекладывая части до окончания разрезаний, после чего распределить все получившиеся кусочки между всеми друзьями так, чтобы каждый получил суммарно одну и ту же долю пиццы по площади. Найдутся ли такие разрезания, если а) N = 201; б) N = 400?

Прислать комментарий Решение

Задача 67181

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9

Автор: Бродский Д.Ю.

На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120^\circ$, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 67185

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Бродский Д.Ю.

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67187

Темы:	[	Разрезания (прочее)	]
	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Юран А.Ю.

Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]