Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 45]

Задача 67186

Темы:	[	Дроби (прочее)	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Казицына Т.В.

Дано натуральное число $n > 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.

Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.

Прислать комментарий Решение

Задача 67197

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
Темы:	[	Основная теорема алгебры и ее следствия	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Малкин М.И.

Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.

Прислать комментарий Решение

Задача 67254

Тема:

[

Примеры и контрпримеры. Конструкции

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

В кабинете сидят N нерях, у каждого на его столе скопилось ненулевое количество мусора. Неряхи выходят обедать по одному (после возвращения предыдущего), а в это время каждый из остальных перекладывает половину мусора со своего стола на стол вышедшего. Может ли случиться, что после того, как все пообедали, количество мусора на столах ни у кого не изменится, если а) N = 2; б) N = 10?

Прислать комментарий Решение

Задача 67256

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Логика и теория множеств	]
	[	Оценка + пример	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Бакаев Е.В.

На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количества точек на гранях каждого игрального кубика равны числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)

Прислать комментарий Решение

Задача 67261

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN в вершине A и касательная к описанной окружности треугольника CIN в вершине C пересекаются в точке D. Докажите, что прямые AC и DI перпендикулярны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 45]