Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65647  (#1)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прямая, проходящая через центр I вписанной окружности треугольника ABC, перпендикулярна AI и пересекает стороны AB и AC в точках C' и B' соответственно. В треугольниках BC'I и CB'I провели высоты C'C₁ и B'B₁ соответственно. Докажите, что середина отрезка B₁C₁ лежит на прямой, проходящей через точку I и перпендикулярной BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65648  (#2)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Дан правильный семиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇. Прямые A₂A₃ и A₅A₆ пересекаются в точке X, а прямые A₃A₅ и A₁A₆ – в точке Y.
Докажите, что прямые A₁A₂ и XY параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65649  (#3)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65650  (#4)

Темы:   [ Выпуклые тела ] [ Призма (прочее) ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65651  (#5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Точка Лемуана ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Из точки A к окружности ω проведена касательная AD и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках B и C (B лежит между точками A и C). Докажите, что окружность, проходящая через точки C и D и касающаяся прямой BD, проходит через фиксированную точку (отличную от D).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями