|
|
 |
Условие
Из точки A к окружности ω проведена касательная AD и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках B и C (B лежит между точками A и C). Докажите, что окружность, проходящая через точки C и D и касающаяся прямой BD, проходит через фиксированную точку (отличную от D).
Решение
Проведём из точки A вторую касательную AE к окружности ω (см. рис.). Пусть M – середина отрезка DE.
Рассмотрим треугольник DCE. В нем CM – медиана, а CA – симедиана (см. задачу 56983). Следовательно, ∠DCM = ∠BCE = ∠BDE. Значит, BD – касательная к описанной окружности треугольника DCM.
Замечания
При инверсии относительно окружности с центром в точке D и радиусом DA окружность ω перейдёт в прямую, параллельную AD, а точки B' и C' (образы точек B и C) будут лежать на окружности, проходящей через точки A и D, то есть AD и B'C' – основания равнобокой трапеции. Окружность, проходящая через точку C и касающаяся BD, перейдёт в прямую l, проходящую через C' и параллельную прямой B'D. Осталось воспользоваться тем, что прямая l проходит через точку A', симметричную точке A относительно B'C'. Учитывая, что окружность ω, а, значит, и прямая B'C' фиксирована, получим, что точка A' также фиксирована. Следовательно, все окружности, проходящие через точку C и каcающиеся BD, проходят через фиксированную точку (образ точки A' при указанной инверсии).
