Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 111871 (#08.5.10.3)

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Акопян А.В.

Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что AQ ⊥ OP. Прямая OP пересекает описанные окружности ω₁ и ω₂ треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что OM = ON.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111872 (#08.5.10.4)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Мурашкин М.В.

Последовательности (a_n) и (b_n) заданы условиями a₁=1 , b₁=2 , a_n+1= и b_n+1= . Докажите, что a2008<5 .

Прислать комментарий Решение

Задача 111873 (#08.5.10.5)

Темы:	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
Темы:	[	Системы алгебраических неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Найдите все такие тройки действительных чисел x, y, z, что 1 + x⁴ ≤ 2(y – z)² 1 + y⁴ ≤ 2(z – x)², 1 + z⁴ ≤ 2(x – y)².

Прислать комментарий

Решение

Задача 111874 (#08.5.10.6)

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Полянский А.

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B₀ – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A₁C₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB₀ и PQ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111875 (#08.5.10.7)

Темы:	[	Китайская теорема об остатках	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Произволов В.В., Сендеров В.А.

При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные b₁, ..., b_n (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b₁ + k)(b₂ + k)...(b_n + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]