ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 109774  (#03.5.11.1)

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Тригонометрические уравнения ]
[ Производные высших порядков ]
[ Методы математического анализа (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.

Докажите, что α=γ или α=τ .
Прислать комментарий     Решение

Задача 108126  (#03.5.11.2)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Признаки подобия ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S1 и S2 треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S1 и S2 в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём  OP : PL = MQ : QO.  Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109775  (#03.5.11.3)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Системы счисления (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
[ Метод спуска ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Даны многочлены  f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена  f. Известно, что для некоторых натуральных чисел  a < b  имеют место равенства  f(a) = g(a)  и  f(b) = g(b).  Докажите, что если  b > m,  то многочлены  f и g совпадают.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109776  (#03.5.11.4)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109777  (#03.5.11.5)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Теорема Виета ]
[ Формула Герона ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами.
Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .