Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 97893 (#1)

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Медиана делит площадь пополам	]
	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 2
Классы: 8,9,10

Авторы: Гальперин Г.А., Савин А.П.

Через вершины A и B треугольника ABC проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97894 (#2)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Признаки делимости (прочее)	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Автор: Фомин С.В.

Натуральное число n записано в десятичной системе счисления. Известно, что если какая-то цифра входит в эту запись, то n делится нацело на эту цифру (0 в записи не встречается). Какое максимальное число различных цифр может содержать эта запись?

Прислать комментарий

Решение

Задача 97895 (#3)

Темы:	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Константинов Н.Н.

Улицы города расположены в трёх направлениях, так что все кварталы – равные между собой равносторонние треугольники. Правила уличного движения таковы, что через перекресток можно проехать либо прямо, либо повернув влево или вправо на 120° в ближайшую улицу. Поворачивать разрешается только на перекрёстках. Две машины выехали друг за другом из одной точки в одном направлении и едут с одинаковой скоростью, придерживаясь этих правил. Может ли случиться, что через некоторое время они на какой-то улице (не на перекрёстке) встретятся?

Прислать комментарий

Решение

Задача 97896 (#4)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Дубровский В.Н.

На стороне AB квадрата ABCD взята точка K, на стороне CD – точка L, на отрезке KL – точка M. Докажите, что вторая (отличная от M) точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AKM и MLC, лежит на диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97897 (#5)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Генкин С.А.

20 футбольных команд проводят первенство. В первый день все команды сыграли по одной игре. Во второй также все команды сыграли по одной игре.
Докажите, что после второго дня можно указать такие 10 команд, что никакие две из них не играли друг с другом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]