|
|
 |
Условие
На стороне AB квадрата ABCD взята точка K, на стороне CD – точка L, на отрезке KL – точка M. Докажите, что вторая (отличная от M) точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AKM и MLC, лежит на диагонали AC.
Решение
Пусть точка M лежит внутри треугольника ACD. Обозначим через P вторую точку пересечения диагонали AC с описанной окружностью треугольника AKM. Тогда точки K и P лежат по одну сторону от прямой AM, значит, ∠AKM = ∠APM (как вписанные, опирающиеся на одну дугу). Точки P и L лежат по разные стороны от прямой CM, и ∠MPC + ∠MLC = (180° – ∠APM) + ∠AKM = 180°. Следовательно, четырёхугольник CLMP вписанный, то есть точка P лежит и на описанной окружности треугольника MLC.
Случай, когда точка M лежит внутри треугольника ABC, разбирается с точностью до "наоборот".
Если же точка M лежит на AC, то указанные описанные окружности касаются в точке M (то есть вторая точка пересечения отсутствует).
Действительно, в этом случае гомотетия с центром M (и коэффициентом – MC/MA) переводит треугольник AKM в треугольник CLM. Поэтому та же гомотетия переводит центр первой описанной окружности в центр второй. Следовательно, общая точка этих окружностей лежит на линии центров и, значит, являет точкой касания.
Замечания
1. Утверждение верно для любого четырёхугольника ABCD, у которого AB || CD.
2. Другой способ (использующий поворот) см. в решениях Задачника "Кванта".
3. 5 баллов.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | задача 4842 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Номер | 7 |
| Дата | 1985/1986 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, 7-8 класс |
| Задача | |
| Номер | 4 |
| журнал | |
| Название | "Квант" |
| год | |
| Год | 1986 |
| выпуск | |
| Номер | 5 |
| Задача | |
| Номер | М984 |
